Практичне число

Практичне число 12

Практичне число або панаритмічне число — це додатне ціле число n, таке що всі менші додатні цілі числа можна подати у вигляді суми різних дільників числа n. Наприклад, 12 є практичним числом, оскільки всі числа від 1 до 11 можна подати у вигляді суми дільників 1, 2, 3, 4 і 6 цього числа — крім самих дільників, ми маємо 5 = 3 + 2, 7 = 6 + 1, 8 = 6 + 2, 9 = 6 + 3, 10 = 6 + 3 + 1 і 11 = 6 + 3 + 2.

Послідовність практичних чисел (послідовність A005153 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) починається з

1, 2, 4, 6, 8, 12, 16, 18, 20, 24, 28, 30, 32, 36, 40, 42, 48, 54, 56, 60, 64, 66, 72, 78, 80, 84, 88, 90, 96, 100, 104, 108, 112, 120, 126, 128, 132, 140, 144, 150…

Практичні числа використовував Фібоначчі в своїй книзі Liber Abaci (1202) у зв'язку з задачею про подання раціональних чисел у вигляді єгипетських дробів. Фібоначчі не визначав формально практичні числа, але він дав таблицю подання єгипетських дробів для дробів з практичними знаменниками.

Назву «практичне число» дав Шрінівасан. Він зауважив, що «розбиття грошей, ваги та інших мір з використанням таких чисел, як 4, 12, 16, 20 і 28, зазвичай настільки незручні, що заслуговують заміни степенями 10». Він перевідкрив низку теоретичних властивостей таких чисел і першим спробував класифікувати ці числа, а Стюарт і Серпінський завершили класифікацію. Визначення практичних чисел уможливлює визначити, чи є число практичним шляхом перегляду розкладу числа на прості множники. Будь-яке парне досконале число і будь-який степінь двійки є практичним числом.

Можна показати, що практичні числа аналогічні простим числам у багатьох сенсах.

Опис практичних чисел

У початковому описі Шрінівасан стверджує, що практичне число не може бути недостатнім числом, тобто числом, сума всіх дільників якого (включно з 1 і самим числом) менша від подвоєного числа, якщо не брати до уваги нестачу, що дорівнює одиниці. Якщо для практичного числа $n$ виписати впорядковану множину дільників ${d_{1},d_{2},...,d_{j}}$, де $d_{1}=1$ і $d_{j}=n$, то твердження Шрінівасана можна виразити нерівністю

$2n\leqslant 1+\sum _{i=1}^{j}d_{i}$.

Іншими словами, упорядкована послідовність всіх дільників ${d_{1}<d_{2}<...<d_{j}}$ практичного числа повинна бути повною підпослідовністю.

Це визначення розширили і завершили Стюарт і Серпінський, які показали, що визначення, чи є число практичним, визначається його розкладанням на прості дільники. Додатне ціле число, більше від 1 з розкладом $n=p_{1}^{\alpha _{1}}...p_{k}^{\alpha _{k}}$ (з упорядкуванням простих дільників за зростанням $p_{1}<p_{2}<\dots <p_{k}$), є практичним тоді і тільки тоді, коли кожен його простий дільник $p_{i}$ досить малий, щоб $p_{i}-1$ мало подання у вигляді суми менших дільників. Щоб це виконувалось, перше просте число $p_{1}$ має дорівнювати 2, а для будь-якого i від 2 до k для кожного наступного простого числа $p_{i}$ має виконуватися нерівність

$p_{i}\leqslant 1+\sigma (p_{1}^{\alpha _{1}}p_{2}^{\alpha _{2}}\dots p_{i-1}^{\alpha _{i-1}})=1+\prod _{j=1}^{i-1}{\frac {p_{j}^{\alpha _{j}+1}-1}{p_{j}-1}},$

де $\sigma (x)$ означає суму дільників числа $x$. наприклад, $2\times 3^{2}\times 29\times 823=429606$ є практичним, оскільки нерівність виконується для кожного з простих дільників: $3\leqslant \sigma (2)+1=4,29\leqslant \sigma (2\times 3^{2})+1=40$ і $823\leqslant \sigma (2\times 3^{2}\times 29)+1=1171$.

Умова, наведена вище, є необхідною і достатньою. З одного боку, ця умова є необхідною, щоб можна було подати $p_{i}-1$ у вигляді суми дільників числа $n$, оскільки в разі порушення нерівності додавання всіх менших дільників дало б суму, занадто малу, щоб отримати $p_{i}-1$. З іншого боку, умова є достатньою, що можна отримати за індукцією. Більш строго, якщо розклад числа $n$ задовольняє наведеній вище умові, то будь-яке число $m\leqslant \sigma (n)$ можна подати у вигляді суми дільників числа $n$ після таких кроків:

• нехай $q=\min\{\lfloor m/p_{k}^{\alpha _{k}}\rfloor ,\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})\}$, і нехай $r=m-qp_{k}^{\sigma _{k}}$.
• Оскільки можна показати за індукцією, що $q\leqslant \sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})$ і $n/p_{k}^{\alpha _{k}}$ є практичними, можна знайти подання q у вигляді суми дільників $n/p_{k}^{\alpha _{k}}$.
• Оскільки можна показати за індукцією, що $r\leqslant \sigma (n)-p_{k}^{\alpha _{k}}\sigma (n/p_{k}^{\alpha _{k}})=\sigma (n/p_{k})$ і $n/p_{k}$ є практичними, то можна знайти подання r у вигляді суми дільників $n/p_{k}$.
• Подання у вигляді дільників r, разом з коефіцієнтом $p_{k}^{\alpha _{k}}$ для кожного дільника подання у вигляді дільників q, разом утворюють подання m у вигляді суми дільників n.

Властивості

• Єдине непарне практичне число — 1, оскільки якщо n>2 є непарним числом, то 2 можна подати у вигляді суми різних дільників числа $n$. Шрінівасан зауважив, що відмінні від 1 і 2 практичні числа діляться на 4 або 6 (або на обидва).
• Добуток двох практичних чисел є також практичним числом. Сильніше твердження: найменше спільне кратне будь-яких двох практичних чисел, є також практичним числом. Еквівалентно, множина всіх практичних чисел замкнута відносно множення.
• З опису чисел Стюартом і Серпінським можна бачити, що в разі, коли $n$ є практичним числом, а $d$ є одним з його дільників, число n*d має бути також практичним числом.
• У множині всіх практичних чисел існує множина простих практичних чисел. Просте практичне число — це або практичне і вільне від квадратів число, або практичне, яке при діленні на будь-який його простий дільник, показник якого в розкладі більший від 1, перестає бути практичним. Послідовність простих практичних чисел (послідовність A267124 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS) починається з

1, 2, 6, 20, 28, 30, 42, 66, 78, 88, 104, 140, 204, 210, 220, 228, 260, 272, 276, 304, 306, 308, 330, 340, 342, 348, 364, 368, 380, 390, 414, 460…

Зв'язок з іншими класами чисел

Кілька інших гідних уваги множин цілих чисел складаються виключно з практичних чисел:

• З властивостей, наведених вище, для практичного числа $n$ і одного з його дільників $d$ (тобто, $d$ | $n$) число $n\cdot d$ має також бути практичним, так що помноживши на 6 будь-який степінь числа 3 отримаємо практичне число, як і помноживши на 6 будь-який степінь числа 2.
• Будь-яка степінь двійки є практичним числом. Степінь двійки тривіально задовольняє опису практичних чисел у термінах розкладання цілих чисел — всі прості числа в розкладі числа, p_1, дорівнюють двом, що й потрібно.
• Будь-яке парне досконале число є також практичним числом. Це випливає з результату Ейлера, що парне досконале число мусить мати вигляд $2^{n-1}(2^{n}-1)$. Непарна частина цього розкладу дорівнює сумі дільників парної частини, так що будь-який непарний простий дільник такого числа має бути не більшим від суми дільників парної частини числа. Таким чином, це число має задовольняти опису практичних чисел.
• Будь-який прайморіал (добуток перших i простих для деякого числа i) є практичним числом. Для перших двох прайморіалов, двійки і шістки це ясно. Кожен наступний прайморіал утворюється множенням простого числа p_i на менший прайморіал, який ділиться як на двійку, так і на попереднє просте число $p_{i-1}$. Згідно з постулатом Бертрана $p_{i}<2p_{i-1}$, так що кожен попередній простий дільник прайморіала менший, ніж один з дільників попереднього прайморіала. За індукцією, з цього випливає, що будь-який прайморіал задовольняє опису практичних чисел. Оскільки прайморіал за визначенням вільний від квадратів, він також є простим практичним числом.
• Узагальнюючи прайморіали, будь-яке число, яке є добутком ненульових ступенів перших k простих чисел, має бути практичним. У цю множину потрапляють надскладені числа Рамануджана (числа з кількістю дільників, більшою від будь-якого меншого додатного числа), а також факторіали.

Практичні числа і єгипетські дроби

Якщо n є практичним, то будь-яке раціональне число вигляду m/n з m<n можна подати у вигляді суми $\sum {\tfrac {d_{i}}{n}}$, де всі d_i є різними дільниками числа n. Кожен член цієї суми зводиться до аліквотного дробу, так що така сума дає подання числа m/n у вигляді єгипетського дробу, наприклад,

${\frac {13}{20}}={\frac {10}{20}}+{\frac {2}{20}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{2}}+{\frac {1}{10}}+{\frac {1}{20}}.$

Фібоначчі в своїй книзі 1202 року Liber Abaci наводить деякі методи пошуку подання раціонального числа у вигляді єгипетського дробу. З них перший метод полягає в перевірці, чи не є число вже аліквотним дробом, а другий метод полягає в поданні чисельника у вигляді суми дільників знаменника, як описано вище. Цей метод гарантує успіх тільки в разі, коли знаменник є практичним числом. Фібоначчі навів таблиці таких поданнь для дробів, що мають знаменниками практичні числа 6, 8, 12, 20, 24, 60 і 100.

Воуз показав, що будь-яке число x/y має подання у вигляді єгипетського дробу з $\scriptstyle O({\sqrt {\log y}})$ членами. Доведення використовує пошук послідовності практичних чисел n_i зі властивістю, що будь-яке число, менше від n_i, можна записати у вигляді суми $\scriptstyle O({\sqrt {\log n_{i-1}}})$ різних дільників числа n_i. Тоді i вибирається так, що $n_{i-1}<y\leqslant n_{i}$ і $xn_{i}$ ділиться на y, даючи частку q і остачу r. З цього вибору випливає, що $\scriptstyle {\frac {x}{y}}={\frac {q}{n_{i}}}+{\frac {r}{yn_{i}}}$. Розклавши чисельники в правій частині формули на суму дільників числа n_i одержимо подання числа у вигляді єгипетського дробу. Тененбаум і Йокота застосували подібну техніку, що використовує іншу послідовність практичних чисел, щоб показати, що будь-яке число ${\frac {x}{y}}$ має подання у вигляді єгипетського дробу, в якому найбільший знаменник дорівнює $\scriptstyle O({\frac {y\log ^{2}y}{\log \log y}})$.

Згідно з гіпотезою Чжи Вей Суня (вересень 2015 року), будь-яке додатне раціональне число має подання у вигляді єгипетського дробу, в якому будь-який знаменник є практичним числом. Існує доведення гіпотези в блозі Девіда Еппштейна.

Аналогія з простими числами

Одна з причин інтересу до практичних чисел полягає в тому, що багатьма властивостями вони подібні до простих чисел. Більш того, теореми, аналогічні гіпотезі Гольдбаха і гіпотезі про числа-близнюки, відомі для практичних чисел — будь-яке додатне парне число є сумою двох практичних чисел і існує нескінченно багато трійок практичних чисел $x-2,x,x+2$ . Джузеппе Мелфі показав також, що існує нескінченно багато практичних чисел Фібоначчі (послідовність A005153 з Онлайн енциклопедії послідовностей цілих чисел, OEIS). Аналогічне питання про існування нескінченного числа простих чисел Фібоначчі залишається відкритим. Гаусман і Шапіро показали, що завжди існує практичне число в інтервалі $[x_{2},(x+1)^{2}]$ для будь-якого додатного дійсного x, що є аналогом гіпотези Лежандра для простих чисел.

Нехай $p(x)$ підраховує кількість практичних чисел, що не перевершують $x$. Маргенштерн висловив гіпотезу, що $p(x)$ асимптотично дорівнює ${\frac {cx}{\log x}}$ для деякої сталої c, що нагадує формулу в теоремі про розподіл простих чисел і підсилює раніше твердження Ердеша і Локстона, що практичні числа мають щільність нуль у множині цілих чисел. Саєс довів, що для відповідних констант c₁ і c₂

$c_{1}{\frac {x}{\log x}}<p(x)<c_{2}{\frac {x}{\log x}},$

Нарешті, Вайнгартнер довів гіпотезу Маргенштерна, показавши, що

$p(x)={\frac {cx}{\log x}}\left(1+O\!\left({\frac {\log \log x}{\log x}}\right)\right),$

для $x\geqslant 3$ і деякої константи $c>0$.

Література

• Paul Erdős, Loxton J. H. Some problems in partitio numerorum // Journal of the Australian Mathematical Society (Series A). — 1979. — Т. 27, вип. 03. — С. 319–331. — DOI:10.1017/S144678870001243X.
• Heyworth M. R. More on panarithmic numbers // New Zealand Math. Mag.. — 1980. — Т. 17, вип. 1. — С. 24–28.. Як процитовано в Маргенштерна (Margenstern, 1991).
• Miriam Hausman, Harold N. Shapiro. On practical numbers // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1984. — Т. 37, вип. 5. — С. 705–713. — DOI:10.1002/cpa.3160370507.
• Maurice Margenstern. Résultats et conjectures sur les nombres pratiques // Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Série I. — 1984. — Т. 299, вип. 18. — С. 895–898. Как процитировано у Маргенштерна (Margenstern, 1991).
• Maurice Margenstern. Les nombres pratiques: théorie, observations et conjectures // Journal of Number Theory. — 1991. — Т. 37, вип. 1. — С. 1–36. — DOI:10.1016/S0022-314X(05)80022-8.
• Giuseppe Melfi. On two conjectures about practical numbers // Journal of Number Theory. — 1996. — Т. 56, вип. 1. — С. 205–210. — DOI:10.1006/jnth.1996.0012.
• Dragoslav S. Mitrinović, József Sándor, Borislav Crstici. III.50 Practical numbers // Handbook of number theory, Volume 1. — Kluwer Academic Publishers, 1996. — Т. 351. — С. 118–119. — (Mathematics and its Applications). — ISBN 978-0-7923-3823-9.
• Robinson D. F. Egyptian fractions via Greek number theory // New Zealand Math. Mag.. — 1979. — Т. 16, вип. 2. — С. 47–52.. Як процитовано в Маргенштерна (Margenstern, 1991) і Митриновича Mitrinović, Sándor та Crstici, (1996).
• Entiers à diviseurs denses, I // Journal of Number Theory. — 1997. — Т. 62, вип. 1. — С. 163–191. — DOI:10.1006/jnth.1997.2057.
• Fibonacci's Liber Abaci / Laurence E. Sigler (перевод). — Springer-Verlag, 2002. — С. 119–121. — ISBN 0-387-95419-8.
• Wacław Sierpiński. Sur une propriété des nombres naturels // Annali di Matematica Pura ed Applicata. — 1955. — Т. 39, вип. 1. — С. 69–74. — DOI:10.1007/BF02410762.
• Srinivasan A. K. Practical numbers // Current Science. — 1948. — Т. 17. — С. 179–180.
• Stewart B. M. Sums of distinct divisors // American Journal of Mathematics. — The Johns Hopkins University Press, 1954. — Т. 76, вип. 4. — С. 779–785. — DOI:10.2307/2372651. — JSTOR 2372651.
• Tenenbaum G., Yokota H. Length and denominators of Egyptian fractions // Journal of Number Theory. — 1990. — Т. 35, вип. 2. — С. 150–156. — DOI:10.1016/0022-314X(90)90109-5.
• Vose M. Egyptian fractions // Bulletin of the London Mathematical Society. — 1985. — Т. 17, вип. 1. — С. 21. — DOI:10.1112/blms/17.1.21.
• Weingartner A. Practical numbers and the distribution of divisors // The Quarterly Journal of Mathematics. — 2015. — Т. 66, вип. 2. — С. 743–758. — arXiv:1405.2585. — DOI:10.1093/qmath/hav006.

Посилання

• Tables of practical numbers compiled by Giuseppe Melfi.
• Practical Number на PlanetMath.(англ.)
• Weisstein, Eric W. Practical Number(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.